Insurer's Surplus Model with Varying Risk Parameter and Delayed Reporting - Otto, Wojciech (Model nadwyżki ubezpieczyciela ze zmiennym w czasie parametrem ryzyka i opóźnionymi realizacjami, 2006)
Typowy model nadwyżki ubezpieczyciela St z czasem dyskretnym zakłada, że: St - St-1 + Wt, t = 1,2,..., gdzie W1,W2,... to zmienne losowe i.i.d. reprezentujące saldo składki i wartości szkód za okres roku. Zakłada się też, że nadwyżka początkowa S0 jest ustalona, zaś rozkład Wt jest znany. Model służy uzyskaniu odpowiedzi na pytania o ruinę - jej prawdopodobieństwo, czas zajścia, deficyt w momencie ruiny itd. W rzeczywistości jednak procesy zgłaszania i likwidacji szkód zachodzących w ciągu roku rozciągają się z reguły na lata następne. Związek modelu z rzeczywistością można przywrócić, przyjmując, że zmienna Wt odpowiada pojęciowo temu, co w języku sprawozdań finansowych określamy jako wynik techniczny, a więc różnicy pomiędzy wartością składki zarobionej a wartością szkód wypłaconych powiększoną o przyrost zobowiązań (rezerw) z tytułu szkód zaszłych i niewypłaconych. Nadwyżkę St możemy wtedy interpretować jako stan środków własnych, zaś ruinę jako utratę wypłacalności. Taka interpretacja prowadzi jednak do komplikacji, ponieważ wartość szkód zaszłych, ale niewypłaconych jest zmienną losową, a odpowiednia rezerwa to w istocie predyktor punktowy tej zmiennej oparty na informacji dostępnej w dniu bilansowym. W rzeczywistości proces predykcji dodatkowo utrudnia fakt, iż parametry rozkładu łącznej wartości szkód zachodzących w ciągu roku nie są stałe w czasie, toteż kalkulacja tak rezerw, jak i składki wymaga predykcji tych parametrów. W artykule zaprezentowany jest model z wbudowanymi komplikacjami obu rodzajów. Kosztem pewnych upraszczających założeń obie komplikacje wprowadzić można w taki sposób, aby zachować niezależność i taki sam rozkład zmiennych Wj, W2,... i otrzymać realistyczne oceny jego parametrów. Przy okazji okazało się, że: • uwzględnienie obu komplikacji jest niezbędne do poprawnej oceny wariancji rocznego przyrostu nadwyżki oraz wariancji błędu predykcji zobowiązań z tytułu szkód zaszłych i niewypłaconych,• model pozwala uzyskać bardziej realistyczny obraz gry toczonej pomiędzy nadzorem, określającym reguły stopowania działalności a ubezpieczycielem, pragnącym prowadzić działalność niezakłóconą interwencjami nadzoru,• model pozwala bardziej realistycznie zakreślić granice sterowalności procesem nadwyżki poprzez takie standardowe techniki, jak stopowanie/uruchamianie wypłat dywidend czy zwiększa- nie/zmniejszanie stopnia, w jakim ryzyko jest reasekurowane.Zastosowane w pracy techniki można określić językiem matematyki jako wykorzystanie twierdzenia Dooba-Meyera o dekompozycji submartyngałów, zaś językiem ekonomii jako wykorzystanie teorii racjonalnych oczekiwań. Przyjęto na tyle prostą wersję założeń, aby móc oprzeć predykcję (kalkulację rezerw i kalkulację składki) na filtrze Kalmana i aby w rezultacie otrzymać analityczne wyniki dotyczące wariancji błędów predykcji. Praca prezentuje więc oryginalnie postawione pytanie, jednak techniki użyte w celu uzyskania odpowiedzi na nie są od dawna znane (np. kalkulacja rezerw na podstawie filtru Kalmana została zaproponowana w latach osiemdziesiątych).
Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu; 2006; nr 1108, s. 66-91